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1  引言
    干式空心串聯(lián)電抗器與并聯(lián)電容器組相串聯(lián)，具有限制合閘涌流和抑制諧波電流的功能。它采用多層包封并聯(lián)結(jié)構(gòu)，層間有通風(fēng)道。每個(gè)包封又由多層小直徑鋁導(dǎo)線以軸向和徑向并聯(lián)的形式組成，結(jié)構(gòu)如圖1所示^[1]。干式空心串聯(lián)電抗器設(shè)計(jì)需綜合考慮電感、電流、電流密度、溫升和損耗等方面的要求。傳統(tǒng)上一般基于經(jīng)驗(yàn)確定電抗器的內(nèi)徑、包封數(shù)和各個(gè)包封的徑向和軸向分層數(shù)，這種設(shè)計(jì)方法由于要反復(fù)調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)，繁瑣費(fèi)時(shí)，設(shè)計(jì)的電抗器也不能達(dá)到整體性能最優(yōu)，所以有必要研究空心串聯(lián)電抗器的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。目前空心電抗器優(yōu)化設(shè)計(jì)采用的方法主要是復(fù)合形法和伸縮保差法^[2-3]。但是這些優(yōu)化方法具有一定的局限性，由于包封數(shù)、徑向分層數(shù)和軸向分層數(shù)是整數(shù)，在優(yōu)化過程中對(duì)這些設(shè)計(jì)變量要進(jìn)行取整，對(duì)最后的優(yōu)化結(jié)果也要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)規(guī)劃，以使導(dǎo)線具有標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格的線徑。

    本文將遺傳算法應(yīng)用到干式空心串聯(lián)電抗器的設(shè)計(jì)中，為空心串聯(lián)電抗器的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種新的方法。遺傳算法對(duì)空心串聯(lián)電抗器優(yōu)化設(shè)計(jì)中的離散或連續(xù)設(shè)計(jì)變量，可以分別采用二進(jìn)制^[4]或?qū)崝?shù)進(jìn)行編碼，對(duì)優(yōu)化結(jié)果不需要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)規(guī)劃。該方法具有較強(qiáng)的通用性，對(duì)不同型號(hào)的空心串聯(lián)電抗器，只需給定電抗器的額定容量、額定電壓和電抗率等參數(shù)，即可通過計(jì)算確定最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。
2  優(yōu)化模型
    干式空心串聯(lián)電抗器的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)有約束的非線性優(yōu)化問題。根據(jù)空心串聯(lián)電抗器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將電抗器的內(nèi)徑、包封數(shù)、各包封的徑向分層數(shù)、軸向分層數(shù)和線徑作為設(shè)計(jì)變量，其它變量如電流密度、損耗和重量等參數(shù)通過設(shè)計(jì)變量計(jì)算得到。將電抗器的重量W_t作為目標(biāo)函數(shù)

式中  D_in為電抗器的內(nèi)徑；N為包封數(shù)；i=1，2，…，N；L_r(i)為第i個(gè)包封的徑向分層數(shù)；L_z(i)為第i個(gè)包封的軸向分層數(shù)；L_d(i)為第i個(gè)包封中的導(dǎo)線線徑。
    將空心串聯(lián)電抗器的損耗、電流密度和溫升等作為約束條件S，可表示為

式中  D為設(shè)計(jì)要求；ε為設(shè)計(jì)容差。
    采用自適應(yīng)懲罰函數(shù)處理約束條件。自適應(yīng)懲罰函數(shù)根據(jù)遺傳操作過程中最優(yōu)個(gè)體的可行性來自適應(yīng)地調(diào)整懲罰因子，即若當(dāng)前代的前k代最佳個(gè)體都是可行解，則減小目標(biāo)函數(shù)的懲罰因子；若前k代的最佳個(gè)體都是非可行解，則增大懲罰因子；若前k代中，最佳個(gè)體既有可行解，又有非可行解，則保持懲罰因子不變。帶有自適應(yīng)懲罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)為

式中 b(i)表示第i代時(shí)目標(biāo)函數(shù)值最好的個(gè)體；0<β₁<1；β₂>1；ξ為可行解區(qū)域；為非可行解區(qū)域。
3  自適應(yīng)遺傳算法
3.1  改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法
    遺傳算法的參數(shù)中交叉概率P_c和變異概率P_m數(shù)值的大小是影響遺傳算法性能的關(guān)鍵。P_c越大，產(chǎn)生新個(gè)體的速度就越快，但是P_c太大時(shí)適應(yīng)度大的個(gè)體編碼被破壞的可能性也增大；若P_c太小，就不易產(chǎn)生新的個(gè)體。對(duì)于變異概率，若P_m太大，則遺傳算法變成了純粹的隨機(jī)搜索算法；若P_m太小，則不易產(chǎn)生新的個(gè)體。針對(duì)不同的優(yōu)化問題，需要反復(fù)實(shí)驗(yàn)來確定P_c和P_m，而且難以找到最佳值。自適應(yīng)遺傳算法就是根據(jù)適應(yīng)度值來動(dòng)態(tài)調(diào)整P_c和P_m。文獻(xiàn)[5]提出的自適應(yīng)算法對(duì)適應(yīng)度接近或等于最大適應(yīng)度的個(gè)體，P_c和P_m接近或等于零，使得進(jìn)化初期的優(yōu)良個(gè)體幾乎處在一種不發(fā)生變化的狀態(tài)，而此時(shí)的優(yōu)良個(gè)體不一定是全局最優(yōu)解。本文作進(jìn)一步的改進(jìn)，如式(4)、(5)所示。

式中 f_max為種群中的最大個(gè)體適應(yīng)度；f_mean為種群的平均個(gè)體適應(yīng)度；f_g為要交叉的兩個(gè)個(gè)體中較大的適應(yīng)度。
    P_cl、P_cmin、P_ml和P_mmin均為(0, 1)區(qū)間的值，且滿足：P_cl+P_cmin<1,P_ml+P_mmin<1。
    改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法使種群中適應(yīng)度最大的個(gè)體的交叉率和變異率不為零，分別提高到P_cmin和P_mmin，這就相應(yīng)提高了種群中優(yōu)良個(gè)體的交叉率和變異率，從而使算法能跳出局部最優(yōu)解。
3.2  改進(jìn)的適應(yīng)度線性變換
    適應(yīng)度線性變換即在進(jìn)化前期，對(duì)適應(yīng)度小于種群平均適應(yīng)度的個(gè)體，放大其適應(yīng)度；而對(duì)適應(yīng)度大于種群平均適應(yīng)度的個(gè)體，則縮小其適應(yīng)度。進(jìn)化后期的處理方法與進(jìn)化前期相反。由于根據(jù)進(jìn)化代數(shù)區(qū)分進(jìn)化前期和后期的方法誤差較大，本文采用樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差來區(qū)分，如式(6)所示。

式中  M為種群數(shù)量；f_i為第i個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度。
    若種群的樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差大于給定的臨界值C_r，則認(rèn)為種群處在進(jìn)化前期，否則認(rèn)為種群處在進(jìn)化后期。適應(yīng)度線性變換如式(7)所示。
    f'=αf+β        (7)
α和β的取值分為以下兩種情況。

個(gè)體適應(yīng)度。

    進(jìn)化過程中f_max和f_mean在不斷變化，系數(shù)c的數(shù)值若為一固定值，則有可能對(duì)需要放大的個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)行縮小，而對(duì)需要縮小的個(gè)體適應(yīng)度則進(jìn)行放大。為避免出現(xiàn)這種情況，令α=tgθ₂，則有

    這樣當(dāng)σ>C_r時(shí)，只需給定θ₂<π/4，即可保證對(duì)適應(yīng)度小于種群平均適應(yīng)度的個(gè)體進(jìn)行放大；而對(duì)適應(yīng)度大于種群平均適應(yīng)度的個(gè)體則進(jìn)行縮小。
3.3  改進(jìn)的最優(yōu)保存策略
    為防止最優(yōu)個(gè)體在交叉和變異等遺傳操作過程中編碼發(fā)生變化或丟失，最優(yōu)保存策略是一種行之有效的方法。對(duì)有約束條件的優(yōu)化問題，這種方法存在一個(gè)缺陷，即保存的最優(yōu)個(gè)體可能是非可行解。例如若當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體和本代最優(yōu)個(gè)體分別是非可行解和可行解，而當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度大于本代最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度，按照最優(yōu)策略則需將本代最差個(gè)體用當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體替換，從而將最優(yōu)個(gè)體保存下來，這可能導(dǎo)致最后的最優(yōu)個(gè)體是非可行解。為防止可行解在遺傳操作過程中丟失，需要綜合考慮當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體和本代最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度和可行性。設(shè)F_c和F_b分別為當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體和本代最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度。分為以下四種情況，分別采取相應(yīng)的最優(yōu)保存策略：
    （1）當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體和本代最優(yōu)個(gè)體均為非可行解，則比較其適應(yīng)度。若F_c >F_b，將本代最差個(gè)體用當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體替換；若F_c < F_b，將當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體用本代最優(yōu)個(gè)體替換；
    （2）當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體為非可行解，本代最優(yōu)個(gè)體為可行解，則將當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體用本代最優(yōu)個(gè)體替換；
    （3）當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體為可行解，本代最優(yōu)個(gè)體為非可行解，則將本代種群中的最差個(gè)體用當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體替換；
    （4）當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體和本代最優(yōu)個(gè)體均為可行解，處理方法同(1)。
4  算例分析
4.1  測試
    對(duì)一個(gè)有約束的測試函數(shù)，分別采用簡單遺傳算法（SGA）、自適應(yīng)遺傳算法^[5]（AGA）和改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法（NAGA）進(jìn)行優(yōu)化，從而檢驗(yàn)改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法的性能。測試函數(shù)為

    該測試函數(shù)的全局最優(yōu)值為680.63。遺傳算法參數(shù)為：種群中個(gè)體數(shù)100個(gè)，最大進(jìn)化代數(shù)300代。運(yùn)算100次，目標(biāo)函數(shù)的最小值、最大值和平均值如表1所示。

    由表1可見改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法的全局尋優(yōu)能力有一定提高。
4.2  設(shè)計(jì)實(shí)例
    在空心電抗器的內(nèi)徑、包封數(shù)、各包封的徑向和軸向分層數(shù)以及線徑等設(shè)計(jì)變量確定的情況下，各層導(dǎo)線匝數(shù)的求解方法按照約束條件的不同，分為等電流法、等電密法、不等電密法和等電阻電壓法四種方法。本文采用等電阻電壓法，即以各層導(dǎo)線中電阻與電流的乘積相等作為約束條件求解匝數(shù)，如式(11)所示，該方法使得整個(gè)電抗器的損耗最低^[7]。

    下面以單相額定容量、額定端電壓和額定電抗率分別為30kvar、317.54V和5%的空心串聯(lián)電抗器為例，給出優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化前、后電抗器的外徑、高度、重量和損耗如表2所示。

    從表2可看出，在滿足設(shè)計(jì)要求的情況下，改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法（NAGA）的優(yōu)化效果最顯著，每相電抗器的外徑、高度、重量和損耗分別減小了3.9%、25%、29%、9.3%。
    改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化得到的各個(gè)包封和各層導(dǎo)線的參數(shù)分別如表3和表4所示。采用有限元法對(duì)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行校驗(yàn)。表5給出了電感和電流額定值與計(jì)算值的比較，可以看出電感和電流均滿足設(shè)計(jì)要求。

    基于磁場-電路-流場-溫度場的耦合計(jì)算方法，環(huán)境溫度按空心串聯(lián)電抗器的使用條件取最大值45℃，求出了空心串聯(lián)電抗器的溫度場分布。電抗器中的平均溫度和最高溫度分別為95.3℃和112.6℃，滿足空心串聯(lián)電抗器的B級(jí)絕緣要求。
5  結(jié)論
    本文建立了空心串聯(lián)電抗器優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，以等電阻電壓法作為計(jì)算方法，采用改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法對(duì)空心串聯(lián)電抗器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高了全局尋優(yōu)能力。對(duì)不同產(chǎn)品型號(hào)的空心串聯(lián)電抗器，只需給定相應(yīng)的參數(shù)，即可完成電抗器計(jì)算，并且對(duì)設(shè)計(jì)方案不需要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)規(guī)劃。將空心串聯(lián)電抗器的優(yōu)化方案與原設(shè)計(jì)方案進(jìn)行比較可見電抗器的結(jié)構(gòu)尺寸、重量和損耗都顯著減小，表明在空心串聯(lián)電抗器優(yōu)化設(shè)計(jì)中采用改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法取得了良好效果。